Önsöz, Barry Mazur, s. 9-14.

Bu kitap Sayı üzerine çokyönlü bir tefekkür ve matematiğin güzelliklerine bir methiyedir.

Bu klasik eser Sayı kavramının evrimi üzerinedir. Evet: Sayı bir evrim sürecinden geçmiştir ve geçmeye devam edecektir. Sayının doğuşu nasıl olmuştur? Bu konuda tahminde bulunmaktan fazlasını yapamıyoruz.

Sayının dile ilk girişi bir sıfat olarak mıydı? Üç inek, üç gün, üç kilometre. "Üç inek" ile "üç gün" arasında birleştirici bir nokta olduğu ve aralarındaki bu ortak "üçlük" noktasına eğilmenin harcanan zamana değeceği yönündeki o çarpıcı düşünceyi ilk fark eden insanın hissetmiş olabileceği heyecanı bir düşünün. Tek bir anda tek bir kişi tarafından fark edilmiş olsaydı, bu ileri doğru benzersiz bir adım olurdu, zira tek başına üçlük kavramı –ad olarak üç– ineklerden ve günlerden çok daha fazlasını içerir. Bu aynı zamanda örneğin bir gün ile üç gün arasında karşılaştırmalar yapılmasının da yolunu hazırlar: Üç gün bir günün üç katı olarak ele alındığında, üçe başka bir açıdan daha, yani üçle çarpma fiilindeki üç olarak bakmayı da beraberinde getirir.

Belki de Sayı başka bir yoldan ortaya çıkmıştır: örneğin "Bir iki üç, söylemesi güç..." diye devam eden tekerlemeler ya da kafiyeli sözler biçiminde.

Nasıl başlamış olursa olsun, bu öykü hâlâ devam ediyor ve bildiğiniz o mütevazı Sayının, var olanı anlama konusunda çok merkezi bir role sahip olduğu gittikçe daha açık görülüyor. İlk Pisagorcular mağaralarında dans ediyor olmalı.

Eğer matematik hakkında bir şeyler öğrenmeye niyetli ama buna hiç zaman bulamamış biri olsaydım ve kendimi o ünlü "ıssız ada"da mahsur kalmış bulsaydım, yanımda olmasını ilk isteyeceğim kitap, gerçeği söylemek gerekirse, yüzme üzerine iyi bir kılavuz olurdu. Ama ikincisi de herhalde bu kitap olurdu. Çünkü Dantzig bu kitapta bilimsel sunum açısından vazgeçilmez olan şu işleri başarıyla yerine getiriyor: Okurlarının genel bir eğitimden fazlasına sahip olmadığını varsaymak, anlatılan öykü açısından en hayati materyali açık ve canlı bir şekilde ifade etmek, önemli bir öykü anlatmak, ve fikirlere sadece göndermeler yapmak yerine onları açıklamak (ki en nadir başarıları da budur).

Sayının öyküsündeki en güzel yan öykülerden biri, matematikçiler sayı cumhuriyetinin sınırlarını genişlettikçe kavramın nasıl değiştiğidir: Sayma sayılarıyla (1, 2, 3, ...) başlayan küme daha sonra negatif sayılarla sıfırı da içine almış (... –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ...), nihayetinde de kesirleri, reel sayıları, karmaşık sayıları ve farklı bir kolonileşme tarzıyla sonsuzluğu ve sonsuzluklar hiyerarşisini de kapsayacak şekilde genişlemiştir. Dantzig bu genişlemelerin her birinin ardında yatan nedenleri de ortaya koyuyor: Gerçekten de bu farklı adımları aynı öykünün parçası kılan ortak bir nokta var. Sayı kavramının kapsamının genişlemesini anlatırken Dantzig arada XIV. Louis'den bir alıntı yapıyor. Dış siyasetinin ardındaki ana ilkenin ne olduğu sorulduğunda XIV. Louis şöyle cevap vermiş: "İlhak! Daha sonra işi kılıfına uyduracak akıllı bir avukat bulmak her zaman mümkündür." Ama Dantzig'in kendisi avukatlara iş bırakmıyor. Matematiğin doğum sancılarına yakından bir bakış sunarken bir yandan da bu öykü boyunca sürekli sorulan önemli bir soruya odaklanıyor: Matematiksel bir nesnenin var olması ne demektir? Karmaşık sayıların ortaya çıkışı üzerine bir yorumunda Dantzig şöyle diyor: "[Karmaşık sayılar kavramı] yüzyıllar boyunca akıl ile hayal gücü arasında bir tür mistik bağ görevi görmüştür." İnsanların zekâsını meşgul eden bu soruna dair Leibniz'in sözlerini aktarıyor:

İlahi Ruh, negatif birimin, yani –1'in, imajiner kökü dediğimiz bu analiz harikasında, ideal dünyanın bu alametinde, varlıkla varlık olmayan arasındaki bu ikiyaşayışlı mahlukta kendisini gösterecek yüce bir çıkış yolu bulmuştur. (177)

Dantzig ilk başlarda kendi yaşadığı şaşkınlıktan da söz ediyor:

Kendi hissettiklerimi hatırlıyorum da... Karmaşık sayıların gizemine daha yeni vâkıf olmuştum. Nasıl şaşırdığımı hatırlıyorum: Karşımda açıkça imkânsız olan ama somut sonuçlar veren işlemlere tabi tutulabilen sayılar vardı. Bir tatminsizlik, huzursuzluk, bu hayali yaratıkların, bu içi boş sembollerin içini doldurma arzusuydu duyduğum. Daha sonra bana bu varlıkları geometrik olarak, somut bir şekilde nasıl yorumlayacağım öğretildi. O anda adeta bir bulmacayı çözmüşçesine, beni korkutan bir hayaletin aslında hayalet değil de içinde bulunduğum ortamın tanıdık bir parçası olduğu ortaya çıkmışçasına bir rahatlama hissettim. (208)

Cebir ile geometri arasındaki karşılıklı etkileşim matematiğin ana temalarından biridir. Geometrik açıdan ilgi çekici eğrilerin basit cebir formülleriyle ifade edilmesini ve basit denklemlerin çözülmesiyle geometrinin gizli niteliklerinin açığa çıkarılmasını sağlayan lise düzeyindeki analitik geometrinin büyüsü serpilerek, modern matematikte karşılıklı birbirini pekiştiren cebirsel ve geometrik sezgilerin güçlü bir bileşimine dönüşmüştür. René Descartes şöyle demişti: "Geometri ile cebirin en iyi yanlarını alır ve birinin tüm kusurlarını diğeriyle düzeltirdim." Çağdaş matematikçilerden Michael Atiyah yakın tarihli bir yazısında geometrik sezginin ihtişamını cebirsel metotların olağanüstü etkililiğiyle karşılaştırırken şöyle diyor:

Cebir adeta şeytanın matematikçiye yaptığı bir teklif gibidir. Şeytan şöyle der: Sana istediğin her soruyu cevaplayacak bu güçlü makineyi vereceğim. Tek yapman gereken bana ruhunu vermek: Geometriden vazgeçersen bu harika makineye sahip olursun. (Atiyah, Michael, Special Article: Mathematics in the 20th Century, s. 7; Bulletin of the London Mathematical Society, no: 34, 2002, s. 1-15.)

Aritmetik ile geometrinin arasındaki binlerce yıllık flörtü bu aşk öyküsünün Faustvari yönlerini kaybetmeden anlatmak ancak Dantzig'in inceliği ile mümkün olabiliyor.

Geometrinin Öğeleri adlı kitabında Öklit "doğru"yu şöyle tanımlıyor: "Tanım 2. Doğru eni olmayan bir uzunluktur." Bugünlerde, düzlem geometrisinin temel taşı olan doğruya başka açılardan da bakabiliyoruz. Örneğin üzerinde pozitif, negatif, tam, kesirli veya irrasyonel sayıların kendi konumlarına sahip oldukları ve her iki yönde sonsuza dek uzanan bir yatay düz çizgi olarak gösterilen sayı doğrusu var. Yine zamandaki farklılıkları resmedebilmek ve içinde yaşadığımızı düşündüğümüz o derin, her daim akıl karıştırıcı ve her daim hareketli geçmiş/şimdiki zaman/gelecek çerçevesini sembolleştirmek adına aynı kaba örnekten, yine her iki yönde de sonsuza dek uzanan yatay bir düz çizgi olarak gösterilen zaman doğrusundan yararlanırız. Doğruya dair bu farklı kavrayışların birbirleriyle nasıl bir alışveriş içinde olduklarının öyküsü de yine Dantzig'in anlatısında ele alınmıştır.

Zaman ile matematik arasındaki ilişkiyi ele aldığı kısımda Dantzig konuya hâkimiyetini gözler önüne seriyor. Sonsuz süreçlerle dolu olan ve "açıkça dinamik" olarak nitelediği Cantor'un kuramıyla "statik" olarak bahsettiği Dedekind'in kuramını karşılaştırıyor. Dedekind, diyor Dantzig, reel sayı tanımının hiçbir yerinde açıkça sonsuz sözcüğünü veya eğilim, ölçülebilenin ötesinde, büyüme, yakınsama, limit, atanabilir miktardan azı gibi kelimeleri (ya da bunların yerine geçen terimleri) kullanmaz. Anlatının bu noktasında nihayet bir sonuca varmışız gibi görünüyor, zira Dantzig şöyle diyor:

Dolayısıyla ilk bakışta [Dedekind'in reel sayılar tanımında] sayı kavramını zaman sezgisi boyunduruğundan tamamen kurtarmayı başarmışız gibi görünür. (155)

Tabii ki bu "tam kurtuluş" Dantzig meseleye bir kez daha baktığında dağılıp gidiyor; böylece zamana ve zamanın matematiksel ifadesine, süreye (continuum) ve süreyin fiziksel zamanla veya bizim tecrübe ettiğimiz zamanla ilişkisine dair ebedi meseleler, Zenon'dan beri farkında olduğumuz sorunlar bu kitapta okuyacağınız sayının evrimi öyküsünün daimi eşlikçileri olmaya devam ediyor.

Dantzig soruyor: Dünya –bilim dünyası– matematiksel dünya üzerinde ve matematiksel dünya da bilim dünyası üzerinde ne ölçüde önemli bir etkiye sahiptir?

Biliminsanı bu dünya sanki kendi düşünceleri veya eylemlerinden bağımsız yasalarca yönetilen mutlak bir bütünmüşçesine hareket eder; ama ne zaman çarpıcı basitlikte, geniş bir evrensellikte veya kâinattaki mükemmel uyuma işaret eden bir yasa keşfetse, "Acaba zihnim bu keşifte ne rol oynadı? Sonsuzluk havuzunda gördüğüm güzel imge bu sonsuzluğun doğasını mı ortaya çıkarıyor yoksa kendi zihnimin yansımasından başka bir şey değil mi?" diye düşünecek bilgelikte olacaktır. (199)

Dantzig şöyle diyor:

Matematikçi, yaptığı giysileri giyecek yaratıklardan tamamen bihaber olan bir giysi tasarımcısına benzetilebilir. Kuşkusuz bu zanaatın çıkış nedeni böyle yaratıklar için giysiler gerekmesiydi, ama bu çok uzun zaman önceydi; bugün ara sıra giysinin adeta kendisi için yapılmışçasına uyduğu bir şekil ortaya çıkar. İşte o zaman büyük bir şaşkınlık ve sevinç yaşanır! (198)

Bu, tarz olarak kısmen fizikçi Eugene Wigner'in ünlü makalesi "Matematiğin Doğa Bilimleri Alanındaki Mantıkdışı Etkililiği"ni andırıyor, ama Dantzig bizlere kendi son derece şahsi öznel gerçeklik ve nesnel gerçeklik nosyonlarını sunarak devam ediyor. Dantzig'e göre nesnel gerçeklik, insanlığın (örneğin bilimsel araçların kullanımı yoluyla) elde etmiş olduğu tüm verileri de içeren son derece geniş bir kaptır. Sayı ile nesnel gerçeklik arasındaki ilişkiye dair analizine zemin hazırlamak amacıyla Poincaré'nin nesnel gerçeklik tanımını ("çok sayıda düşünen varlık için ortak olan ve herkes için ortak olabilecek şey") kabul ediyor.

Immanuel Kant'ın o çok önemli iki sözcüğe, özne ve nesne'ye dair çok sayıdaki biçimlenimlerinden en az birinde, kendi sensus communis (Lat. Ortak hissiyat anlamında. Kant bunu tüm insanlığın paylaştığı yargılardan söz ederken kullanır. –ç.n.) kavramı baskın bir rol oynar. Bu incelikli kavram, bir şekilde her birimizin içinde oluşan ve insanlığın geri kalanının çeşitli durumları nasıl karşılayacağına dair beklentilerimizin kaynağı olan içsel bir "genel ses"tir.

Buna benzer bir yönde, Poincaré ile Dantzig'in öznel gerçekliği de bir tür iç ses, içimizde, insanlığın geri kalanı hakkında bize bir şeyler söyleyen bir yetiyi gerektiriyormuş gibi görünüyor: Poincaré-Dantzig nesnel gerçekliği, genel olarak nesnel kabul edilmiş veya kabul edilebilir olana dair temelde öznel bir konsensüstür. Bu görüş bizi hemen nesnellik ve sayı üzerine pek çok tartışmanın, özellikle de Wigner'in makalesinde ifade edilen düşüncelerin altında bir döngüsellik yattığı konusunda uyarır. Dantzig bu konuya pek değinmiyor.

Kardeşim Joe ile ben o zaman 70'li yaşlarının başında olan babamız Abe'e Sayı: Bilimin Dili'nden bir tane hediye etmiştik. Abe liseden sonra matematik eğitimi görmemişti ama hâlâ orada öğrenmiş olduğu cebire karşı tutkulu bir sevgi besliyordu. Bir keresinde, biz daha küçükken, Abe cebirin güzelliklerinden bazılarını bizimle paylaşmıştı: "Size bir sır vereceğim," demişti gizemli bir ses tonuyla. X sembolünün o büyülü gücünü kullanarak iki katı alınıp bir eklendiğinde 11 eden o sayıyı nasıl bulabileceğimizi anlatmaya başladı. Ben her şeyi olduğu gibi kabul eden bir çocuk olarak X'in gerçekten ailemize ait bir sır olduğunu düşünüyordum; ta ki birkaç yıl sonra matematik dersinde gözüm açılana dek.

Abe hediye ettiğimiz kitabı şaşırtıcı derecede çok beğendi. Onu dikkatle okudu, kenarlarını aldığı notlarla, hesaplamalarla, yorumlarla kapkara hale getirdi; tekrar tekrar okudu. Sayılarla bu kitaptaki şekilde etkileşime girdi; Goldbach Varsayımı'nın kendine ait değişkelerini denedi ve onlara kendi Goldbach Değişimleri adını verdi. Tam anlamıyla mest olmuştu.

Ama bunların hiçbiri şaşırtıcı değil, çünkü Dantzig'in kitabı hem ruhu hem de zekâyı tutsak ediyor; bu kitap gerçekten herkesçe erişilebilir olan az sayıdaki açıklayıcı matematik klasiklerinden biri.